Conor Pass war ein langweiliger Brauner, der keinerlei Begehrlichkeiten zu Anfang weckte. Gezogen wurde er in Irland von der Promotion Holdings Corporation. Als Jährling wurde er versteigert und für 2.800 Guineas verkauft. Während seiner Rennkarriere war er im Besitz von Rita Moore und wurde von Kevin Prendergast trainiert. Das Pferd wurde nach einem Bergpass in der Grafschaft Kerry benannt. Sein Vater war Tiepolo, dessen größter Sieg im Prix Herod im Jahr 1966 errungen wurde. Tiepolo war ein Vertreter der Byerley-Turk-Linie, im Gegensatz zu mehr als 95 % der modernen Vollblüter, die direkt von Darley-Arabian abstammen. Das machte ihn zu einer Rarität.
Conor Pass gab im April ein erfolgreiches Renndebüt in einem Sechs-Furlong-Maidenrennen in Leopardstown und gewann anschließend im Juni ein kleines Stakes-Rennen über dieselbe Distanz in Navan. Bei den folgenden fünf Starts konnte er zwar nicht gewinnen, zeigte aber einige solide Leistungen und wurde Zweiter in den Enniskillen Stakes, den Mullion Stakes und den Probationers Stakes (gegen Thatch) sowie Dritter in den Railway Stakes. Im Irish Free Handicap, wo die besten Jungpferde 1972 in Irland an den Start gingen, wurde Conor Pass mit 126 Pfund bewertet, zwölf Pfund hinter Thatch, was ihn zum siebtbesten Hengst machte. Die unabhängige Organisation Timeform bewertete ihn mit 115 Pfund, womit er 15 Pfund unter den am höchsten bewerteten jungen Hengst Simbir und Targowice lag, und bemerkte in ihrem Jahresbericht Racehorses of 1982, dass er wahrscheinlich über längere Distanzen besser abschneiden wird.
Als Dreijähriger musste sich Conor Pass bei seinen ersten drei Starts geschlagen geben. Als er im Mai in den Irish 2000 Guineas auf dem Curragh hinter Sharp Edge unplatziert blieb, sah er überfordert aus. Später im selben Monat feierte er seinen ersten Erfolg in dieser Saison, als er mit Scheuklappen ein Sieben-Furlong-Handicap in Phoenix Park gewann. Es folgten vier weitere Niederlagen, bevor er im August ein weiteres Handicap in Phoenix Park gewann, diesmal über eine Meile. Anschließend wurde er in die Desmond Stakes auf dem Curragh geschickt und zeigte seine bis dahin beste Leistung, als er knapp hinter Hail The Pirates und Hurry Harriet ins Ziel kam.
Obwohl Conor Pass noch nie über zehn Furlongs gelaufen war, wurde er am 22. September im Irish St Leger über eineinviertel Meilen im Curragh an den Start gebracht. Der von Paul Jarman gerittene Conor Pass wurde mit einer Quote von 5/1 als zweiter Favorit hinter dem von den Briten trainierten Sunyboy gehandelt. Nachdem er als Zweiter in die Zielgerade eingebogen war, übernahm Conor Pass zwei Furlongs vor dem Ziel die Führung und hielt den anhaltenden Angriff von Sunyboy ab, um mit einer Dreiviertellänge Vorsprung vor Star Appeal zu gewinnen, der mit acht Längen Rückstand Dritter wurde. Anschließend wurde er in die Vereinigten Staaten verschifft, um das Washington, D.C. International zu bestreiten, verletzte sich jedoch kurz vor dem Rennen und nahm nicht teil.
Conor Pass begann seine dritte Saison mit zwei Niederlagen, fand dann aber im Juni in den Player-Wills Stakes (Gruppe 2) über zehn Furlongs in Leopardstown zu seiner Form zurück und gewann mit eineinhalb Längen Vorsprung vor der dreijährigen Stute Silk Buds. Anschließend wurde er nach England zum Coronation Cupgeschickt, wo er als letzter der fünf Teilnehmer ins Ziel kam. In seiner Heimat kam er dann wieder auf die Siegerstraße zurück und schlug in Leopardstown Spanish Doubloon um zweieinhalb Längen. Noch im selben Monat kehrte er nach England zurück, um an den King George VI and Queen Elizabeth Stakes teilzunehmen, doch schien er nicht ganz auf der Höhe zu sein, denn er beendete das Rennen unplatziert hinter Dahlia. In seinen letzten vier Rennen des Jahres musste er sich geschlagen geben, wurde aber Zweiter im Blandfor Stakes gegen Richard Grenville.
Nach dem Ende seiner Rennkarriere wurde Conor Pass exportiert, um in Polen als Deckhengst zu arbeiten. Die besten seiner Nachkommen waren wahrscheinlich: Dżudo, der Gewinner des Gruppe 1 Copa de Oro de San Sebastian, Maracana (Polnische 1.000 Guineas und Polnische Oaks) und Dixieland, ein erfolgreiches Rennpferd und Vererber.
